数据信息源的预处理

cc<-sunspots[1:120];ccdf<-data.frame(x=1:120,vv=cc)

fit<-lm(vv~x,ccdf)

plot(cc,col=rainbow(12),type='o',tck=0.01);abline(fit,col='blue',lwd=3,lty=3)

残差数据特征：

resi<-resid(fit);summary(resi)得到：

Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.

-40.003 -17.650 -6.252 0.000 16.854 94.223

回归模型的拟合优度检验：

本模型的决定系数为0.3368，拟合效果差，主要原因是原始数据存在周期波动；该模型的残差标准差为23.6，表示用时间预测太阳黑子时平均的预测误差为23.6。

线性回归模型的诊断、检验及预测

线性回归核心参数通过coef(fit)得到，也可以通过summary(fit)实现。

(Intercept) x

69.7391036 -0.4874783

线性回归结果四大图如下：

1. 拟合~残差图，查看是否满足线性假设；若x与y线性相关，则残差和拟合应该没有任何系统关联，如果图中呈现出曲线，可能要考虑给方程加二次项。
2. 正态QQ图，Q-Q图是在正态分布对应的值下，标准化残差的概率图；若满足正态假设，则图上的点应落在图中的45度线上。若不是，则违反了正态分布的假设。
3. 位置~尺度图，查看是否满足同方差性；若满足方差不变则图中的点应均匀分布在红色水平线两侧。
4. 残差~杠杆图，鉴别离群点、高杠杆值、强影响点；强影响点是距离cook's distance 距离较远的点，删除它可以使得拟合效果更好；不过，删变量要尽量谨慎，不能一味追求回归效果好而删原始值

par(mfrow=c(2,2),las=1,col.axis='blue');plot(fit)

模型的显著性检验：

模型F值为61.44，P为2.245e-12，拒绝原假设，认为两个变量之间存在线性关系。

本模型的回归系数的t值显著性水平P为2.25e-12，拒绝原假设，表示时间是影响太阳黑子的一个显著因素。

此外，还可以对回归系数进行区间估计，在1-a的置信水平下，其置信区间如下：

confint(fit,level=0.95)

2.5 % 97.5 %

(Intercept) 61.1531567 78.3250505

x -0.6106363 -0.3643203

对模型进行方差分析的检验：

由于P<0.05，于是在α=0.05水平下，本例的回归系数有统计学意义，太阳黑子水平和时间存在直线回归关系。

anova(fit)

根据模型预测：

ccpred<-predict(fit,data.frame(x=121:140));ccpred

plot(cc,xlim=c(1,140),col=terrain.colors(12),type='o',tck=0.01);

abline(fit,col='blue',lwd=3,lty=3)

points(121:140,ccpred,col='red',pch=15,cex=2)

应用forecast包的函数进行预测绘图

对回归残差的FFT处理

resifft<-fft(resi);str(resifft)

R软件里的复数处理专用函数：Re() Im() Mod(模) Arg(弧度) Conj共轭

resifftm<-Mod(resifft);resifftm;

plot(resifftm,col=heat.colors(120),type='o') plot(resifftm,col=heat.colors(120),type='o')

用mvfft把傅里叶变换的复数列resifft转回原数据,返回true。

resifft_re<- Re(mvfft(as.matrix(Conj(resifft))))/120;all.equal(as.vector(resi),as.vector(resifft_re))

对数据信息的小波变换分析

R语言实现最通俗小波变换分析实例

ARIMA

ARIMA即自回归积分移动平均模型，由Box、Jenkins于1970s提出的时间序列预测方法。

tsdisplay(ccts)

需要做差分处理，目的是去掉趋势；

cctsd1<-diff(ccts);tsdisplay(cctsd1)

fit3<-arima(ccts,order=c(0,3,1));fit3

checkresiduals(fit3)

本次检验阶数24，为数据周期的2倍；p值0.0002465小于0.05，残差的自相关检验通过。

下图为预测12个月即1年的太阳黑子值，图中绿线是拟合值，红线是真实值，蓝线是预测值；两个区域分别代表默认80%、95%置信区间的数值边界。

fc<-forecast(fit3,h=12)